Da Euclide a Mersenne la saga dei numeri primi.






Da Euclide a Mersenne la saga dei numeri primi.

Pensate che non servono a nulla? Vi sbagliate. Fanno impazzire i matematici da secoli, ma oggi sono fondamentali per tutti noi.

Da un lato abbiamo una notizia: all'Università del Central Missouri, il matematico Curtis Cooper ha da poco identificato il numero primo più grande che quei perversi scienziati che sono i matematici siano mai riusciti a estrarre dai loro computer. Un mostro di 17.425.170 cifre. Per scriverlo servono circa 3 mila pagine (se volete divertirvi a leggerlo tutto lo trovate qui:
www.isthe.com/chongo/tech/math/digit/m57885161/huge-prime-c.html; sono 22 Mega di pagine Web da scaricare). Da un altro viene una considerazione: a volte in matematica le cose più semplici (come i numeri primi) celano calcoli e tecniche complicatissime. Quasi una esemplificazione del fascino ambiguo di questa disciplina. Infine, sorge subdola la domanda: alla gente comune che cosa può importare dei numeri primi in generale e di questa scoperta in particolare?

Definizione.

Partiamo dall'inizio: che cos'è un numero primo? Questa è la parte facile: <<È un numero naturale, cioè intero e positivo, che può essere diviso solo per 1 e per se stesso senza che il risultato sia decimale>> spiega Mirella Manaresi, che insegna geometria all'Università di Bologna. Per esempio, 7 è primo (si può dividere solo per 1 e per 7, ma non per 3, per esempio, perché 7:3 fa 2,3 periodico). Anche 3 è primo, e 5, 11, 13,17,19,23... E anche 2 è primo, ma è l'unico numero pari a esserlo, perché tutti gli altri si possono dividere per 2 (1 non è considerato primo per una serie di motivi tecnici che vi risparmiamo). I primi hanno anche un fascino particolare: <<Il teorema fondamentale dell'aritmetica>> continua Manaresi <<dice che qualsiasi numero naturale maggiore di 1 o è primo o si può esprimere come prodotto di primi>>. In un certo senso, i primi sono i numeri di base: con essi si possono formare tutti gli altri. Finché parliamo di decine o centinaia, verificare se un certo numero sia primo è semplice: basta provare a dividerlo per tutti gli interi più piccoli di lui. <<Già nel III secolo a.C. il matematico greco Eratostene di Cirene aveva elaborato un metodo per trovare i primi minori di un numero dato>> precisa Manaresi. Oggi lo chiamiamo “crivello di Eratostene”. Quando i numeri si ingrossano, però la faccenda da quasi banale diventa praticamente irresolubile. In sé non sarebbe un lavoro difficile, ma è lunghissimo: come cercare il classico ago in un pagliaio.

I primi di Mersenne.

Tutto sarebbe risolto se si trovasse una legge matematica che fornisca tutti i numeri primi (che tra l'altro sono infiniti, come è stato dimostrato già da Euclide 300 anni prima di Cristo). <<Ma, per quanto se ne sa, una legge di questo tipo non esiste>> sottolinea ancora Manaresi. Bisogna accontentarsi di indicazioni frammentarie. Per esempio, si può escludere che siano primi i numeri pari (si dividono per 2), e anche quelli che finiscono per 0 o per 5 (si dividono di certo per 5). Viceversa, si può sperare che siano primi (ma non è detto) i numeri che escono dalla formula 2 -1, dove n è un numero intero. Funziona per esempio se n=2, perché 22-1=4-1=3, o per n=3(viene 7), ma non per n=4 (24-1=15, che si divide per 3 e per 5). I numeri primi che si possono esprimere con questa formula sono detti “di Mersenne”, dal nome del teologo e matematico francese Marin Mersenne, vissuto tra la fine del '500 e la metà del '600, che compilò una lista di presunti numeri primi che seguivano quella legge. Mersenne fece diversi errori, includendo numeri che non erano primi e tralasciandone altri che invece lo erano. Ma nei suoi confronti possiamo essere indulgenti. Padre Mersenne, discepolo di Cartesio, aveva infatti anche altro da fare: è considerato uno dei fondatori dell'acustica, fece scoperte di ottica, si occupò di teoria della musica, scrisse trattati di teologia.

Premi in palio.

Il numero primo da record trovato da Curtis Cooper del Missouri comunque è proprio uno di Mersenne (il 48° scoperto): si può infatti esprimere come 257.885.161-1, cioè 2 moltiplicato per se stesso 57.885.161 volte, meno1. Se qualcuno volesse cimentarsi, la Mersenne Research Inc. mette in palio 3 mila dollari per ogni nuovo primo di Mersenne identificato che abbia meno di 100 milioni di cifre e ben 50 mila per un nuovo numero primo che ne abbia almeno 100 milioni:
(www.mersenne.org/legal/#awards). Come è giusto in questa epoca di condivisione digitale, mersenne.org è un sito di calcolo distribuito: migliaia di utenti mettono insieme la loro capacità di calcolo. Si scarica un programmino da far girare sul proprio computer e questo testa i numeri compresi in un certo intervallo assegnato in caccia di numeri primi. Riassumendo: trovare numeri primi potrebbe essere semplice, ma in pratica richiede calcoli lunghissimi anche per i computer più potenti. Individuare numeri primi per via teorica è invece virtualmente impossibile: anche se il concetto di un numero primo è comprensibile anche a un ragazzino di dieci anni, tutta la teoria che nasconde è materia per specialisti.

Gialli matematici.

Vengono in mente altri casi simili di semplicità solo apparente, per esempio il famoso “ultimo teorema di Fermat”. Gli studiosi, dato che non possono trovare una legge che sforni tutti i primi, lottano da secoli per determinare regole che almeno permettano di capirne l'andamento. <<Già i matematici greci, per esempio, avevano notato che i numeri primi tendono a diradarsi>>: tra 1 e 30 ce ne sono 10 (2,3,5,7,11,13,17,19,23 e 29), tra 1.001 e 1.030 sono 4 (1.009, 1.013, 1.019 e 1.021),tra 10.001 e 10.030 solo due (10.007 e10.009),e così via. Anche se è solo alla fine del '700 che questo risultato è espresso in modo rigoroso da Adrien-Marie Legendre e Carl Friedrich Gauss. Molte altre menti eccelse si sono sbizzarrite cercando di capire se i primi seguissero delle regole, e se sì quali. P er esempio Fermat nel '600, Eulero nel '700, Riemann nell'800. Sembravano solo speculazioni da iniziati, finché la storia dei numeri primi ha avuto una svolta, che ha portato a una caccia forsennata a primi sempre più grandi.

Li abbiamo in casa.

Che cosa ci sarà mai di così interessante dietro a questi benedetti numeri primi? Per la risposta non serve andare lontano: basta pensare al decoder della tv a pagamento che abbiamo in soggiorno, o alle transazioni che facciamo via Internet per comprare una notte in hotel o un biglietto aereo. Per non dire dei movimenti di denaro tra banche, aziende ecc. <<Dopo una storia di oltre 2 mila anni, i numeri primi sono diventati di attualità poco dopo la metà degli Anni '70 con l'invenzione della crittografia a chiave pubblica da parte di tre matematici del Mit di Boston>>. Lo chiamano anche sistema Rsa, dai cognomi degli inventori: Rivest, Shamir e Adleman. Da allora, tutto ciò che ha dietro un sistema crittografico, cioè un algoritmo matematico che codifica le informazioni in modo incomprensibile a chi non le deve vedere, utilizza numeri primi. E più sono grossi, meglio è. <<Si potrebbe pensare che con l'evolversi dei computer sarà semplice infrangere questi sistemi. Non è così: aumenteranno le dimensioni dei numeri coinvolti>>. Ecco perché la scoperta del super numero primo del Missouri ci riguarda da vicino. Perché contribuisce a far sì che quando ci colleghiamo al sito della banca qualcuno non si infili dentro e ci svuoti il conto. Ora questi misteriosi giganti di cifre vi stanno più simpatici?

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